beslisboom

Een beslisboom van m vertakkingen met elk n takken
heeft N=n^m uitkomsten
maar een keuzelast B = n×m

Bij welke n en m is B optimaal? Ofwel
bij welke n en m is B/N minimaal?
Eerste poging

Dat gaat op als
∂(B/N)/∂n + ∂(B/N)/∂m = 0

We weten dat

B/N = n×m/n^m =

m/n^m-1

dus

∂(B/N)/∂n =
∂(m/n^m-1)/∂n =
∂(m×n^1-m)/∂n =
m×(1-m)×n^1-m-1 =

m(1-m)×n^-m

en

∂(B/N)/∂m =
∂(m/n^m-1)/∂m =
∂(m×n^1-m)/∂m =
∂(m×e^ln(n)(1-m))/∂m =
∂(m×e^{ln(n)-m×ln(n)})/∂m =
∂(mn×e^-mln(n))/∂m =
mn×(∂(e^-mln(n))/∂m) + (∂(mn)/∂m)×e^-mln(n) =
mn×(-ln(n))e^-mln(n) + n×e^-mln(n) =
(-mn×ln(n) + n)n^-m =

(1-m×ln(n))n^1-m

Samenvoegend

∂(B/N)/∂n + ∂(B/N)/∂m =
m(1-m)×n^-m + (1-m×ln(n))n^1-m =
(m(1-m) + n - nm×ln(n))n^-m

en dat moet =0 zijn.
Dus

m(1-m) + n - nm×ln(n) = 0 of n^-m=0 ⇔ m=∞

m(1-m) + n - nm×ln(n) = 0 ⇔
m - m² + n - nm×ln(n) = 0 ⇔
1 - m + n/m - n×ln(n) = 0 ⇔
1 - m = n×ln(n) - n/m ⇔

n(ln(n) - 1/m) / (1 - m) = 1

waar ik ook niet echt blij van word. Volgens ai klopt de berekening wel. Bij nader inzien is de vraag of ∂(B/N)/∂n + ∂(B/N)/∂m = 0 van toepassing is. Dat gaat over de gradient. Voor een minimum moeten zowel ∂(B/N)/∂n = 0 als ∂(B/N)/∂m = 0. De gradient is ook 0 als ∂(B/N)/∂n = -∂(B/N)/∂m

---

over n andere boeg dan maar (sluit eerste poging)

(Tweede poging)

B = n×m en N=n^m ⇔ n=N^1/m en
B = m×N^1/m

Bij vaste N hangt B alleen af van m met een verhoopt optimum als

∂B/∂m = 0 ⇔
∂(m×N^1/m)/∂m = 0 ⇔
∂(m×e^ln(N)/m)/∂m = 0 ⇔
(∂m/∂m)×e^ln(N)/m + m×∂(e^ln(N)/m)/∂m = 0 ⇔
e^ln(N)/m + m×(ln(N)ln(m))e^ln(N)/m = 0 ⇔
(1 + m×(ln(N)ln(m)))e^ln(N)/m = 0 ⇔

(1 + m×(ln(N)ln(m)))=0 of e^ln(N)/m = 0 ⇔ m=∞

1 + m×(ln(N)ln(m)) = 0 ⇔
m×(ln(N)ln(m)) = -1 ⇔
m×ln(m) = -1/ln(N) ⇔

Optimum bestaat alleen bij m>0 en ln(m)<0, dus 0<m<1

m^m = e^-1/ln(N) ⇔
N^ln(m) = e^-1/m

(Tweede poging sluiten)

(Derde poging)

(Derde poging sluiten)