Maupertuis zei: Action =
S ≡ ∫mvds =
∫mv²dt
waarbij de integraal overgaat
van een vast pad in de ruimte
naar variabele paden in de tijd.
S = ∫mv²dt =
∫2Kdt =
∫(K+K)dt
Hamilton zei: constante E = K+V
dus
S = ∫(K+K)dt =
∫(K+E-V)dt =
∫(K-V+E)dt =
∫(K-V)dt + ∫Edt
Lagrange zei: ℒ ≡ K-V
dus
S = ∫(K-V)dt + ∫Edt =
∫ℒdt + ∫Edt
∂S =
∂∫ℒdt + ∂∫Edt =
∂∫ℒdt + E•∂∫dt + ∂E•∫dt =
( omdat E constant is maar ∫dt niet )
∂∫ℒdt + 0•∫dt + E•∂∫dt =
∂∫ℒdt + E•∂(∆t)
E•∂(∆t)=0 bij constante ∆t
en ∂E•∫dt= ∂E•∆t= 0 bij al eerder constant gestelde E;
dan is ∂∫Edt= 0 en dus
∂S= ∂∫ℒdt= 0
De Euler-Lagrange vergelijking geldt in de gevallen dat ∂∫ℒdt=0.En die leidt weer tot Nöther's behoudswetten uit symmetrieën.
Hoe terug te rekenen van de
