Reconstructie
Maupertuis zei: Action
(de beweging van een deeltje
via een pad
van een vast punt in de ruimte s0
naar s0+Δs, ook vast)
=
S ≡ ∫mvds =
∫mv²dt
waarbij de integraal overgaat
van een pad met vaste punten s0 en s0+Δs in de ruimte
naar een pad in de tijd van variabele t(s0) naar t(s0+Δs)):
S = ∫mv²dt =
∫2Kdt =
∫(K+K)dt
Hamilton zei: totale of mechanische energie E = K+V
(K is kinetische energie,
V is potentiele energie)
dus
S = ∫(K+K)dt =
∫(K+E-V)dt =
∫(K-V+E)dt =
∫(K-V)dt + ∫Edt
Lagrange zei: ℒ ≡ K-V
en dan wordt
S = ∫(K-V)dt + ∫Edt =
∫ℒdt + ∫Edt
δS =
δ∫ℒdt + δ∫Edt =
δ∫ℒdt + E•δ∫dt + δE•∫dt =
δ∫ℒdt + E•δΔt + δE•Δt
Kijken we daarentegen naar een episode Δt tussen vaste tijdstippen,
dus met constante Δt in plaats van constante Δs
dan is E•δ(Δt)=0
en wordt δS = δ∫ℒdt + E•0 + δE•Δt
δS= δ∫ℒdt + δE•Δt
In het geval δ∫ℒdt=0, los van S of δS, geldt de Euler-Lagrange vergelijking.En die leidt weer tot Nöther's behoudswetten uit symmetrieën.
Waaronder de wet van behoud van energie.
Ofwel δE = 0.
Die hadden we nog niet bekend verondersteld. Maar nu wel ...
Die behoudswetten gelden bijgevolg in werelden waarin
δS = δ∫ℒdt + δE•Δt
= 0 + 0 ⇔
δS = 0
Notities
-
Geldt de productregel ook voor δ∫ℒdt?
Dan:
δ∫ℒdt=0 ⇔
δℒ•∫dt + ℒ•δ∫dt =0 ⇔
δℒ•Δt + ℒ•δ(Δt) =0 ⇔
δℒ•Δt + ℒ•0 =0 ⇔
δℒ•Δt =0 ⇔
δℒ =0 ⇔
ℒ is constant ⇔
K-V is constant - Deeltjes worden aangetroffen waar en wanneer δS=0 geldt. Observables ...?
-
Een analogie voor stationaire action:
Een markering op de rand van een roterende draaischijf.
Gezien vanuit een punt in het vlak waarin die schijf roteert heeft die markering twee, schijnbaar, stationaire punten.
Bij de top en het dal van de cosinus.
Stel dat de markering bij die stationaire punten net genoeg tijd heeft om een indruk achter te laten op het netvlies van de waarnemer.
Daartussen beweegt die te snel om de drempelwaarde te halen. -
Kwantummechanisch blijkt dat momentum p en locatie x elkaars Fouriertransformatie zijn, net als energie E en tijd t.
En "in zekere zin" ruimte (ook x) en tijd ook, maar dan relativistisch.
Krijg je dan een soort driehoeksverhouding tussen x en p, t en E, en x en t.
(Waarbij δS = 0 ervan afhangt hoe je tegen die 'draaischijf' aankijkt?
Met ℏ = 6,636×10-34Js en 1/c2 = 1,1×10-17s2/m2 als drempelwaarden?) -
Waarom zou δ∫ℒdt=0 moeten zijn?
Waar en wanneer het toevallig(?) wel zo is
geldt Euler-Lagrange ⇒ Nöther ⇒ Wet van Behoud van Energie ⇒ δE•Δt=0 ⇒ δS = 0.
De ons bekende wereld... De enige optie?
Hoe zou t zijn als δ∫ℒdt ≠ 0 ?
Er gold
S = ∫ℒdt + ∫Edt =
∫(ℒ + E)dt
over elk padafhankelijk tijdsinterval (t(s0), t(s0+Δs))
=
∫(K-V + V+K)dt =
2∫Kdt
dus
δS = 2δ∫Kdt
en als dan
δS = 0 ⇔
2δ∫Kdt = 0 dus ∫Kdt is constant, dus K=0 - Wat dan in geval dat δS≠0 ?
