Maupertuis zei: Action
(de beweging van een deeltje
via een pad
van een vast punt in de ruimte s0
naar s0+Δs, ook vast)
=
S ≡ ∫mvds =
∫mv²dt
waarbij de integraal overgaat
van een pad met vaste punten s0 en s0+Δs in de ruimte
naar een pad in de tijd van variabele t(s0) naar t(s0+Δs)):
S = ∫mv²dt =
∫2Kdt =
∫(K+K)dt
Hamilton zei: totale of mechanische energie E = K+V
(K is kinetische energie,
V is potentiele energie)
dus
S = ∫(K+K)dt =
∫(K+E-V)dt =
∫(K-V+E)dt =
∫(K-V)dt + ∫Edt
Lagrange zei: ℒ ≡ K-V
en dan wordt
S = ∫(K-V)dt + ∫Edt =
∫ℒdt + ∫Edt
δS =
δ∫ℒdt + δ∫Edt =
δ∫ℒdt + E•δ∫dt + δE•∫dt =
δ∫ℒdt + E•δΔt + δE•Δt
Kijken we daarentegen naar een pad tussen vaste tijdstippen,
dus met constante Δt in plaats van constante Δs
dan is E•δ(Δt)=0
en wordt δS = δ∫ℒdt + E•0 + δE•Δt
δS= δ∫ℒdt + δE•Δt
Is δ∫ℒdt=0 het geval, dan geldt de Euler-Lagrange vergelijking, los van S of δS.En die leidt weer tot Nöther's behoudswetten uit symmetrieën.
Waaronder de wet van behoud van energie.
Ofwel δE = 0.
Dat hadden we nog niet bekend verondersteld. Maar nu wel ...
Die behoudswetten gelden bijgevolg in werelden waarin
δS = δ∫ℒdt + δE•Δt
= 0 + 0 ⇔
