beslisboom

Een beslisboom van m vertakkingen met elk n takken
heeft N=n^m uitkomsten
maar een keuzelast B = n×m

Bij welke n en m is B optimaal? Ofwel
bij welke n en m is B/N minimaal?

B = n×m en N=n^m ⇔ n=N^1/m en
B = m×N^1/m

Bij vaste N hangt B alleen af van m met een verhoopt optimum als

∂B/∂m = 0 ⇔
∂(m×N^1/m)/∂m = 0 ⇔
∂(m×e^ln(N)/m)/∂m = 0 ⇔
(∂m/∂m)×e^ln(N)/m + m×∂(e^ln(N)/m)/∂m = 0 ⇔
e^ln(N)/m + m×(ln(N)ln(m))e^ln(N)/m = 0 ⇔
(1 + m×(ln(N)ln(m)))e^ln(N)/m = 0 ⇔

(1 + m×(ln(N)ln(m)))=0 of e^ln(N)/m = 0 ⇔ m=∞

1 + m×(ln(N)ln(m)) = 0 ⇔
m×(ln(N)ln(m)) = -1 ⇔
m×ln(m) = -1/ln(N) ⇔

Optimum bestaat alleen bij m>0 en ln(m)<0, dus 0<m<1

m^m = e^-1/ln(N)