Gulden Snede

Hier een debatje over de Gulden Snede. Interessant, niet alleen vanuit wiskundig perspectief, maar ook vanwege de verwondering die het bij mensen oproept.

Iemand zei mij vandaag iets als:
“mensen doen er alles aan om maar niet te hoeven denken”.
Hoor jij daar ook bij? Kom op dan, een beetje brugklaswiskunde kan jij ook wel aan.
En als je doorzet zul je zien dat je een heleboel ‘mysteries’ goed kunt begrijpen en verklaren. En ontdekken dat de schoonheid er niet van verdwijnt, nee mooier wordt nog.
Want “iets is mooi als het is zoals we vinden dat het hoort te zijn”.
En naar mate je meer kunt begrijpen valt er meer op ‘zijn plek’, wordt het mooier dus.

Hier komt ie dan:

Verdeel een rechte lijn in twee stukken met lengte a en b, zodanig dat a/b=b/(a+b), met a+b de lengte van de lijn.
Dit is een getal dat voor elke rechte lijn geldt en wordt ook wel fi genoemd (griekse letter) of de Gulden Snede.
Voor fi geldt dus ook fi = a/b dus a = fi x b (vergelijking 1).
Als a/b = b/(a+b) dan is a x (a+b) = b^2 (= b kwadraat) ofwel
a^2 + ab = b^2.
Vullen we vergelijking 1 hierin in dan blijkt dat
(fi x b)^2 + (fixb)xb = b^2 en omdat overal b^2 staat kunnen we daardoor delen en dan zien we dat
fi^2 + fi = 1 ofwel fi^2 = 1 - fi

Omdat bij fi geldt:
fi^2=1-fi, wordt de machtreeks er van:
fi^3 = fi-fi^2 = fi-(1-fi) = 2fi -1, en
fi^4 = 2fi^2 - fi= 2(1-fi) - fi = 2- 2 fi
enz enz.
Fi komt dus in zijn eigen machtreeks steeds terug.

Dat is opmerkelijk. Maar overal staan gelijktekens dus we hebben in deze redenatie nog geen nieuwe gegevens gebruikt. Het is dus een andere schrijfwijze van de oorspronkelijke vraag; niet eens het gevolg ervan maar precies hetzelfde, en dus niet verwonderlijk.

Fi kan met de abc-formule, bekend van de middelbare school, worden bepaald op (1+ wortel 5)/2 = 0,618…

De machtreeks van fi kan, overigens NET ALS VAN ALLE GETALLEN TUSSEN 0 en 1 als een spiraal worden afgebeeld.


Spiralen (en vertakkingen) komen in de natuur erg vaak voor en omdat fi in zijn eigen machtreeks steeds terugkomt kan mij goed voorstellen dat het TEN GRONDSLAG ligt aan allerlei verschijnselen. Dan is het niet verbazingwekkend als we het overal terugvinden.

Daar doet niets aan af dat het wel mooi is.
Dat blijft het ook als we dit weten. Ik vind het er zelfs mooier van worden.