verdeling wind-vermogen

Wat is het gemiddelde windvermogenaanbod op een locatie?
En welke effectieve windsnelheid past daar bij?

De kinetische energie van een volume lucht met

frontaal oppervlak A,

lengte wΔt

en massa m = ρA wΔt, is

1/2 m w² =

1/2 ρA wΔt w² =

1/2 ρA Δt w³

Over tijdsduur Δt vertegenwoordigt dat een vermogen

P(w) = 1/2 ρA w³

(1)

Lage windsnelheden komen vaker voor dan hoge.

De windsnelheidsverdeling (blauw) op een locatie, zal wel een maximum frequentie vertonen rond 20km/u tot 30km/u, en aflopen naar de de hoogste voorkomende windsnelheid w_top.
De laagste windsnelheden dragen relatief weinig bij aan het gemiddelde vermogen (zie (1)). Bij het modelleren van de verdeling kunnen die verwaarloosd worden.

Voor een eerste orde benadering lijkt een lineair afnemende verdeling (rood) geschikt.

F(w) = F(0) - c×w

(2)

met

• F als verdelingsfunctie van de windsnelheden,
• 0 ≦ de windsnelheid w ≦ w_top, de hoogst voorkomende windsnelheid,
• -c de lineaire richtingscoëfficiënt.

F(w_top) = 0 dus

0 = F(0) - c × w_top

F(0) = c × w_top

c = F(0) / w_top

(3)

Alle frequenties in F tellen op tot 1
in dit geval de oppervlakte van de driehoek onder de grafiek,
met basis w_top maal halve hoogte F(0) / 2 :

w_top × F(0) / 2 = 1

F(0) = 2 / w_top

(4)

(3) en (4) invullen in (2) levert dus voor 0 ≦ w ≦ w_top

F(w) = 2 / w_top - F(0)/w_top × w

F(w) = 2 / w_top - 2 / w_top² × w

F(w) = (2 / w_top) (1 - w / w_top)

(5)

De verdeling van het vermogen PF(w) wordt dan

F(w)P(w) =

(2 / w_top) (1 - w / w_top)(1/2 ρA w³)

of

(w_top/ρA) PF(w) = w³ (1 - w / w_top)

(6)

Uitgewerkt voor w_top = 120km/u = 33,3..m/s

De oppervlakte onder de grafiek is

∫w³ (1 - w / w_top) dw =

∫(w³ - w⁴ / w_top) dw =

|(w⁴/4 - w⁵ / 5w_top) =

w⁴|(1/4 - w / 5w_top) =

w_top⁴(1/4 - w_top/5w_top) - 0⁴(1/4 - 0/5w_top) =

w_top⁴(1/4 - 1/5) - 0 =

(1/20)w_top⁴

(7)

Het gemiddelde of verwachte vermogen is

((ρA)/20) w_top⁴/w_top =

((ρA)/20) w_top³

(8)

Dat is 1/10^e van het vermogen bij uitzonderlijke storm.

Op een locatie hoef je dus alleen maar de snelheid te weten van wat plaatselijk de uitzonderlijke storm is, om er het gemiddelde windvermogen te schatten.

Uit de grafiek kun je opmaken dat er wel aanzienlijke afwijkingen zijn. Vooral omdat hoge windsnelheden zo veel invloed hebben.
In de praktijk zou de factor best tussen 1/12 en 1/8 kunnen liggen.

---

Voor de effectieve windsnelheid, w_eff, die dat gemiddelde vemogen levert, geldt

P(w_eff) =

(ρA/2) w_eff³ =

(ρA/20) w_top³=

(ρA/2) ( w_top/∛10 )³

De effectieve windsnelheid,

w_eff = w_top/(∛10) = 0,464 w_top

(9)

Met de eerder gesuggereerde onzekerheidsmarge kun je dus een factor tussen 0,437 en 0,500 verwachten.

---

PF(w) heeft een maximum

waar dPF/dw = 0

3w² - (4/w_top) w³ = 0

3- (4/w_top) w = 0 of w=0

w = 3/4 × w_top

(10)

Opmerkelijk. Maar wat betekent het?