[ GrH (dus nog niet Einstein): basisbegrippen
ruimte, tijd en ruimtetijd
Natuurkunde gaat over gebeurtenissen. Waarneembare gebeurtenissen.
Gebeurtenissen nemen wij altijd waar op een bepaalde plaats en tijdstip.
Tijd is wat een klok aangeeft. Volgens Einstein. Heel simpel.
Maar plaats bepalen is wat minder simpel. Omdat we alle richtingen in kunnen.
Op het aardoppervlak gebruiken we daarvoor de windrichtingen: zuid-noord en west-oost.
Met twee getallen -breedtegraden (Z-N) en lengtegraden (W-O)- kunnen we elke plaats op aarde ondubbelzinnig bepalen.
René Descartes bedacht het assenstelsel: met een rechte x-as en een rechte y-as loodrecht daarop. Met talloze toepassingen in platte vlakken.
In de vrije ruimte kunnen we ook nog omhoog of omlaag. Dus krijgen we een x-y-z-coördinatenstelsel, met 3 eenduidige getallen voor plaatsaanduiding: 3 dimensies.
Naast plaats hadden we, om een gebeurtenis aan te kunnen duiden, ook een tijdstip nodig. Gebeurtenissen krijgen dus 4 coördinaten: x-y-z-t.
In een
4-dimensionaal cartesisch ruimte-tijd coördinatenstelsel.
oorsprong
Waar x, y, z en t gelijk zijn aan 0 noemen we de
oorsprong van zo'n coördinatenstelsel. Dan komt de vraag op: waar ligt die oorsprong?
In het middelpunt van de aarde? Maar de aarde draait om zijn as, en ook nog eens om de zon. Vanuit die oorsprong vliegt alles in de hemelen dan met een noodgang voorbij.
Is de zon dan het middelpunt, volgens Copernicus? Maar de zon draait ook zijn rondjes in de Melkweg, en de Melkweg zweeft ook door de ruimte.
I
n 1887 deden Michelson en Morley een experiment dat daar een antwoord op zou kunnen geven.
De lichtsnelheid bleek afhankelijk van ... niets. Van het vacuüm.
Dat kon niemand zich voorstellen. Dus dacht men dat er iets moest zijn buiten dat vacuüm. Ze noemden het de aether, waarin alles, ja alles, rond zou zweven.
Door verschillen in de lichtsnelheid (met de baan van de aarde mee en er tegenin) zochten Michelson en Morley de snelheid van de aarde door die aether.
Zij vonden ... geen lichtsnelheidsverschillen.
lichtsnelheid
Welke snelheid je als waarnemer ook hebt, en welke snelheid lichtbronnen ook hebben, altijd meet je een constante lichtsnelheid. Een constante c genoemd en
c = 300000000 m/s -0,07%.
Onbegrijpelijk. Crisis in de wetenschap.
Wat Einstein deed was simpelweg aanvaarden dat de lichtsnelheid constant is en de consequenties onder ogen zien.
Lorenztransformatie
We gaan nu een gedachte-experiment doen,
dat we zowel bekijken vanuit een vaststaand huis,
als vanuit een ruimtevaartuig, dat met constante snelheid v langsvliegt.
Achter een raam in het huis hebben we een laser-gun geïnstalleerd. Die staat gericht op een vast doelwit. Het ruimtevaartuig vliegt pal over het huis en over het doelwit.
Het experiment bestaat uit twee gebeurtenissen A en B:
A: we schieten een laserpuls af;
B: de laserpuls raakt het doelwit.
De instrumenten zijn zo afgesteld dat gebeurtenis A de ruimtetijdcoördinaten (0,0,0,0) heeft, zowel vanuit het huis gezien als vanuit het ruimtevaartuig.
Vanuit het huis gezien heeft gebeurtenis B ruimtetijdcoördinaten: (x, 0, 0, t) en
x2 + y2 + z2.
Dat is hetzelfde als de afstand die de puls in tijd t heeft afgelegd,
in het kwadraat:
c
2 t
2.
Dus x2 + y2 + z2 = c2 t2 , ofwel
(1)
x2 + y2 + z2 - c2 t2 = 0
Vanuit het ruimtevaartuig
zou je, vanuit alledaagse -klassieke- ervaring verwachten
dat je de snelheid van het ruimtevaartuig van de snelheid van de laserpuls af kunt trekken:
c-v,
omdat het ruimtevaartuig de puls voor een deel ~in zou halen~.
Dan zou dat kwadraat zijn:
(c-v)2 t'2 = x'2 + y'2 + z'2
Maar de puls heeft de onveranderlijke lichtsnelheid c.
Dus wordt het kwadraat
c2 t'2 = x'2 + y'2 + z'2
en
(2)
x'2 + y'2 + z'2 - c2 t'2 = 0
Vergelijkingen (1) en (2) geven allebei 0, dus:
(3)
x2 + y2 + z2 - c2 t2 = 0 = x'2 + y'2 + z'2 - c2 t'2
en omdat
in deze opstelling ook y = z = y' = z' = 0 kunnen we dat
hier vereenvoudigen tot:
(4)
x2 - c2 t2 = 0 = x'2 - c2 t'2
Ware x=x' en t=t' dan zou vergelijking (4) altijd opgaan, en konden we doorgaan met ons leventje. Maar x en x' zijn niet gelijk...
x = de afstand tussen het huis en het doelwit,
zowel bij de gebeurtenis A van afschieten als bij B, die van raken.
Want het huis en het doelwit 'staan allebei stil'.
x'= de afstand tussen het ruimtevaartuig en het doelwit 'over de grond gemeten'.
Maar alleen bij gebeurtenis B, van raken. Immers het ruimtevaartuig is een stukje doorgevlogen tussen de gebeurtenissen A en B.
Dus zijn x en x' verschillend, en bijgevolg x2 en x'2 ook.
Maar dan verschillen ook c2 t2 en c2 t'2 en dus ook t2 en t'2
want anders klopt de vergelijking (4) niet meer.
De oplossing heet de Lorentztransformatie.
Het afleiden ervan is wat rekenwerk. De uitkomst is:
x' = γ (x - vt)
en
(6)
t' = γ (t - vx/c2)
Met
γ, de griekse letter "gamma", wordt de
Lorentzfactor aangeduid:
1/ √(1-v2/c2).
Dat lijkt een hele formule, maar kijk er toch eens goed naar.
Dan zie je allereerst dat γ bij v hoort, de snelheid van het ruimtevaartuig ten opzichte van het huis. Want alle andere waarden (1 en c) zijn constant.
Bij gelijkblijvende v verandert γ dus niet. Dus nooit in de gevallen waarin coördinatenstelsels eenparig bewegen.
De wortel in de noemer van γ kan alleen tussen 0 en 1 liggen.
Immers,
als v=c dan is v2/c2 =1 en 1-v2/c2 = 1-1 = 0
en
als v=0 dan is v2/c2 =0 en 1-v2/c2 = 1-0 = 1.
Als v>c dan is v2/c2 >1 en 1-v2/c2 negatief. De wortel ervan bestaat dan niet.
Dus de hoogst mogelijke snelheid is c, de lichtsnelheid.
Ga zelf na dat γ ≽ 1, altijd.
De Lorentztransformatie klopt;
klik hier ⏬ en kijk maar.
We zagen in (4) dat
x2 - c2 t2 = 0
en
x'2 - c2 t'2 = 0
Dus dan is de eerste gelijk aan de tweede:
x2 - c2 t2 =
x'2 - c2 t'2
Vul daar, volgens (5) en (6) in voor
x' :
γ (x - vt)
en voor
t' :
γ (t - vx/c2)
We moeten helaas nu
γ nog even voluit schrijven dus wordt
x' :
(x - vt) / √(1 - v2/c2)
en
t' :
(t - vx/c2)/ √(1 - v2/c2)
Als x' en t' inderdaad zo transformeren, dan hebben we te bewijzen:
(7)
x2 - c2 t2 =?= ((x - vt)2 - c2 (t - vx/c2)2) / √(1 - v2/c2)2
Die wortel in t kwadraat √(1-v2/c2)2 = (1 - v2/c2)
En door beide kanten er mee te vermenigvuldigen wordt de vergelijking
(8)
(1 - v2/c2)(x2 - c2t2) =?= (x - vt)2 - c2 (t - vx/c2)2)
Een stuk overzichtelijker.
Neem nu van vergelijking (8) eerst alleen de rechterkant en schrijf de kwadraten uit
(x2 - 2vtx + v2t2) - c2 (t2 - 2vtx/c2 + v2x2/c4)
In de tweede term c2 tussen haakjes brengen. De dubbeltermen vallen tegen elkaar weg
x2 - 2vtx + v2t2 - c2t2 + 2vtx - v2x2/c2
⇓
x2 + v2t2 - c2t2 - v2x2/c2
Haal er de x2 en t2 buiten haakjes
x2 - v2x2/c2 + v2t2 - c2t2
⇓
x2(1 - v2/c2) + t2(v2 - c2)
en in de t2 term ook de c2
x2(1 - v2/c2 ) + c2t2(v2/c2 - 1)
⇓
x2(1 - v2/c2) - c2t2(1 - v2/c2)
dan blijkt die moeilijke rechterkant in (8) uiteindelijk:
(x2 - c2t2)(1 - v2/c2)
De vraag of in (8) de linkerkant en de rechterkant gelijk zijn luidt dan
(1 - v2/c2)(x2 - c2t2) =?= (x2 - c2t2)(1 - v2/c2)
en dat is natuurlijk waar. Dus klopt de transformatie.
De Lorentztransformatie betekent dat bewegende en stilstaande waarnemers afstand en tijd anders beleven.
De
ruimte-tijd vervormt door hun onderlinge snelheidsverschil.
lengtecontractie en tijddilatatie
Twee gebeurtenissen (x0, 0, 0, t0) en (x1, 0, 0, t1) vanuit het vaste huis,
en vanuit het ruimtevaartuig gezien: (x0', 0, 0, t0') en (x1', 0, 0, t1')
L = x1 - x0 en T = t1 - t0
L' = x1' - x0'
dus L'= γ (x1 - vt1 - x0 + vt0) = γ (x1 - x0 - vt1 + vt0)
L' = γ (L - vT)
en
T' = t1' - t0'
dus T'= γ (t1 - x1v/c2 - t0 + x0v/c2) = γ (t1 - t0 - x1v/c2 + x0v/c2)
T' = γ (T - Lv/c2)
Lengtebepaling zonder tijdverloop L' = γ (L - 0) = γL
En tijdmeting zonder verplaatsing T' = γ (T - 0) = γT
Kijkt de huisbewoner door het raampje van het ruimtevaartuig,
ziet die daarbinnen dat een meetlat lengte L= L'/γ heeft, korter dan zijn eigen: lengtecontractie.
Een klokje in het ruimtevaartuig tikt langzamer T=T'/γ: tijdilatatie.
Als v naar c gaat, dus γ naar ∞, wordt de lengte L= L'/γ = 0, en de tijd T=T'/γ = 0.
In het ruimtevaartuig, net zo goed als in elk bewegend systeem.
Zoals een foton dat onderweg is sinds het begin der tijden. Dat heeft van al die afstanden en tijd geen weet. Wat elk foton betreft komt het aan op hetzelfde moment als dat het vertrok.
De Lorentztransformatie geeft aanleiding tot de speciale relativiteitstheorie, met onder andere de beroemde vergelijking E=mc2.
Maar ik, GrH, neem hier een andere afslag.
versnelde systemen
Tot nu toe keken we naar systemen met een onderlinge eenparige snelheid. Die niet verandert in de tijd. Doet die dat wel dan spreken we van versnelde systemen.
Het ruimtevaartuig zet nu zijn motoren aan en wordt eenparig versneld, met versnelling a.
De snelheid ervan wordt afhankelijk van de tijdsduur. Gezien vanuit het huis: v(t)=at.
Dan krijgt γ de waarde 1/ √(1- a2t2 /c2).
Na verloop van tijd nadert a2t2 = c2. Dus gaat v2/c2 naar 1, en γ naar ∞!
Sneller kan het niet.
roterend systeem
Je kunt een systeem ook versnellen door het te roteren. Dan verandert niet (alleen) de grootte maar de richting van de snelheid.
De huisbewoner werpt een lijntje uit en weet er het ruimtevaartuig mee te vangen. Dat gaat vervolgens rondjes draaien om het huis, met een hoeksnelheid ω, (de kleine griekse letter voor omega).
De snelheid is dan v = ωr waarbij r de lengte van het lijntje is.
Dan is γ = 1/ √(1- ω2r2 /c2).
Vanwege lengtecontractie is de omloopafstand L = L'/γ.
In een rechtlijnige "Euclidische" ruimte zou L = 2πr zijn en L' = 2πr' = 2πr, want de Lorentztransformatie voor r'=r. Omdat het lijntje steeds loodrecht op de snelheidsrichting staat.
Dus L = L'.
De conclusie is dat de ruimte niet rechtlijnig of "Euclidisch" is.
Zet het ruimtevaartuig de aandrijving aan, dan gaat zijn omloopsnelheid richting lichtsnelheid;
γ naar ∞ en L = L'/γ naar 0!
De ruimte is dan als een schijf klei die een pottenbakker omhoog buigt en bovenaan dichtknijpt.
Neem in gedachten een draaischijf met op r = 14 miljard lichtjaar een omloopsnelheid gelijk aan de lichtsnelheid: ωr = c dan ω = c/r = 3*108 / (14*109 * 3*108) = 7,14*10-11 rad/Y.
Dat is (natuurlijk) 1 rad in die 14 miljard jaar.
, GrH. Nu Einstein weer hertaald]
23. Klokken en meetlatten op een roterend referentiesysteem
Ik heb het nog niet gehad over hoe ruimte- en tijdaanduidingen fysisch te interpreteren zijn vanuit de algemene relativiteitstheorie. Dat was niet correct. Dat moeten we nodig aanvullen; al moeten we wel diep gaan.
We gaan weer uit van heel speciale gevallen, waar we het eerder over gehad hebben. Neem eens een ruimte-tijdgebied voor ogen waarin geen gravitatieveld heerst. En een - galileïsch - referentieobject C: met een eenparige snelheid, zo dat de speciale relativiteitstheorie opgaat. Hetzelfde ruimte-tijdgebied kunnen we ook bekijken vanaf een uniform roterend referentieobject C'. Bijvoorbeeld een vlakke cirkelvormige schijf die eenparig om zijn middelpunt roteert.
Een waarnemer, op schijf C' buiten het middelpunt, ondervindt een radiaal uitwaarts gerichte kracht. Een waarnemer op C vat die kracht op als traagheidskracht (centrifugaalkracht).
De waarnemer op de schijf ervaart zijn schijf C' echter op als 'in rust'; geheel in lijn met het algemene relativiteitsprincipe.
De kracht die op hem werkt, en op alle objecten in rust met de schijf, beschouwt hij als effecten van een gravitatieveld.
Al is dit volgens Newton als gravitatieveld onmogelijk. Het veld is namelijk nul in het midden en wordt naar buiten toe groter naarmate de afstand van het middelpunt toeneemt. Maar de waarnemer gelooft in de algemene relativiteitstheorie, dus dit stoort hem niet; hij hoopt er terecht op dat er een algemene gravitatiewet geldt die de beweging van de sterren en van zijn waargenomen krachtveld verklaart.
Deze waarnemer gaat op zijn schijf C' met klokken en meetlatten experimenteren, om exacte ruimte- en tijdsaanduidingen te bepalen. Wat voor waarnemingen zal hij doen?
De waarnemer zet eerst een klok in het middelpunt van de schijf, en een identieke op de rand. Beide dus in rust met de schijf.
De eerste vraag is of beide klokken gelijk lopen, gezien vanuit het niet-roterende galileïsche referentieobject C. Van daaruit ziet men dat de klok in het middelpunt stil staat terwijl die op de rand rondjes draait. Volgens een resultaat uit paragraaf 12 loopt de klok op de rand langzamer dan die in het centrum.
Ook voor de man midden op de schijf, loopt de klok aan de rand langzamer dan die bij hem. Op onze schijf, en meer in het algemeen in ieder gravitatieveld, zal een klok sneller of langzamer lopen, al naar gelang de positie van de klok.
Een redelijke bepaling van tijd met behulp van klokken in rust ten opzichte van het referentieobject C', is dus niet mogelijk. Evenmin als de bepaling van gelijktijdigheid. Maar dat terzijde.
Ook de bepaling van ruimtelijke coördinaten levert hier onoverkomelijke problemen op. Stel namelijk dat de waarnemer op de draaischijf zijn eenheidsmaatlat (die klein is ten opzichte van de straal van de schijf) tangentieel langs de rand legt. Dan is die korter dan 1, gezien vanuit het galileïsche stelsel C [maar ook vanuit het centrum van C', GrH]. Omdat bewegende objecten, volgens paragraaf 12, in de bewegingsrichting korter worden.
Legt hij de lat radiaal, langs de straal van de schijf, wordt die vanuit C gezien niet korter. [Vanuit C' gezien ook niet, trouwens. GrH]
Wanneer de waarnemer [op C', GrH] de omtrek en diameter van zijn schijf meet en op elkaar deelt, vindt hij niet het bekende quotient π = 3,14... maar een groter getal. Op een schijf in rust ten opzichte van C, zou dat natuurlijk wel precies π moeten zijn.
Daarmee is bewezen dat op een roterende schijf de euclidische meetkunde niet precies geldt. En daarmee in een gravitatieveld in het algemeen. Tenminste als de [eenheids, GrH]-meetlat overal en in elke richting [per definitie, GrH] lengte 1 heeft. Ook het begrip rechte lijn verliest daarmee zijn betekenis.
Dus, als we de methode van de speciale relativiteitstheorie volgen, kunnen we de coördinaten x, y en z ten opzichte van de schijf niet exact bepalen. Maar dan hebben de natuurwetten waarin deze coördinaten en tijden een rol spelen, ook geen betekenis.
Hierdoor lijkt alles wat we tot nu toe over algemene relativiteit gezegd hebben op losse schroeven te staan. Inderdaad moeten we een omweg maken om het postulaat van de algemene relativiteitstheorie toe te passen. De volgende paragrafen bereiden je hierop voor.
===
===
25. Gausscoödinaten
[Gausscoördinaten zijn, in plaats van op loodrechte rechten in cartesische systemen, gebaseerd op roosters van krommen.
In 4 dimensies geldt dan voor een infinitesimale afstand ds rond (x1,x2,x3,x4) in gausscoördinatenstelsel X:
ds2= g11dx1dx1 + g12dx1dx2 + ... + g44dx4dx4
ofwel
ds2= dx1g11dx1 + dx1g12dx2 + ... + dx4g44dx4
of als matrix vermenigvuldiging
(dx1) (g11 g12 g13 g14)
(dx2) (g21 g22 g23 g24)
(dx3) (g31 g32 g33 g34)
(dx4) (g41 g42 g43 g44)
×
(dx1 dx2 dx3 dx4)
Transformatie van referentiestelsel X naar X' gaat middels tensorberekeningen.
Maar daar maakt Einstein in dit boekje zijn handen niet aan vuil. GrH]
===
===
26. Het ruimte-tijdcontinuüm van de speciale relativiteitstheorie als euclidisch continuüm
[
Neem (x1,x2,x3,x4) = (x,y,z,ict) volgens Minkowski, eerder even aangestipt in paragraaf 17.
]
===
28. Exacte formulering van het algemene relativiteitsprincipe
De voorlopige definitie van het algemene relativiteitsprincipe uit paragraaf 18 kunnen we nu vervangen door een exacte.
Niet langer geldt: "alle referentieobjecten C, C', C'' etc zijn gelijkwaardig voor de beschrijving van de natuur, ongeacht hun bewegingstoestand". Want starre referentieobjecten kunnen niet gebruikt worden voor de beschrijving in ruimte-tijd. Tenminste niet volgens de methode van de speciale relativiteitstheorie.
In plaats van het referentieobject moet een gausscoördinatenstelsel komen.
Het fundamentele idee van de algemene relativiteitsprincipe komt overeen met: "alle gausscoördinatenstelsels zijn principieel gelijkwaardig voor de formulering van de algemene natuurwetten".
Herformuleren we dit principe dan wordt het nog duidelijker als een natuurlijke uitbreiding van het speciale relativiteitsprincipe. Immers, de vergelijkingen gaan bij een lorentztransformatie volgens de speciale relativiteitstheorie over in dezelfde vorm. Van x,y,z,t in (een galileïsch) C naar x',y',z',t' in C'.
...
29. De oplossing van het gravitatieprincipe op grond van het algemene relativiteitsprincipe
Als je alles tot nu toe hebt kunnen volgen, is het niet moeilijk meer om het gravitatieprobleem op te lossen.
We beginnen om ons voor te stellen in een galileisch gebied, zonder gravitatieveld ten opzichte van het galileisch referentiestelsel C. Vanuit de speciale relativiteitstheorie begrijpen we hoe onze klokken en meetlatten zich gedragen, net als 'geisoleerde' massapunten die eenparig en rechtlijnig ten opzichte van C bewegen.
Bekijk dit gebied nu eens vanuit een willekeurig gausscoördinatenstelsel C'.
Dan zien we een bijzonder type gravitatieveld G. Heel gewoon, door het gedrag van de klokken, meetlatten en massapunten ten opzichte van C' te berekenen. Dat gedrag interpreteren we als beïnvloed door G.
Vervolgens stellen we als hypothese: de invloed van G wordt door de dezelfde wetten beschreven, als de wetten die gelden wanneer het gravitatieveld niet alleen door coördinatentransformaties uit speciale galileïsche geval af te leiden is.
Daarna onderzoeken we de invloed van G in het geval dat G er wel door afgeleid is.
We formuleren dit gedrag in een wet die in elk referentiestelsel opgaat.
Dit is nog niet de algemene wet van het gravitatieveld omdat G nog van een bepaald type is. Om de algemene wet te vinden moeten we de verkregen wet nog generaliseren.
Dit kunnen we bereiken als we de volgende eisen in acht nemen:
- De gezochte generalisatie voldoet aan het algemene relativiteitspostulaat.
- Voor de veldopwekking is alleen de trage massa van belang, van eventuele materie in het beschouwde gebied.
- Gravitatieveld en materie samen voldoen aan de wet van behoud van energie (en van impuls).
Uiteindelijk kunnen we met het algemene relativiteitsprincipe de invloed bepalen op het verloop van al die processen die bij het ontbreken van een gravitatieveld volgens bekende wetten verlopen. Dat wil zeggen, die processen die al ingepast zijn in het kader van de speciale relativiteitstheorie. Daarbij te werk gaand volgens de eerder uiteengezette methode voor meetlatten, klokken en vrij bewegende materiepunten.
De gravitatietheorie die zo uit het algemene relativiteitspostulaat wordt afgeleid,
- blinkt niet alleen uit in schoonheid,
- maar elimineert de zwakke plek in de klassieke mechanica (paragraaf 12),
- interpreteert de empirische wet van gelijkheid van trage en zware massa,
- en heeft al (1919, GrH) twee astronomische waarnemingen verklaard waar de klassieke mechanica geen raad mee weet.
Namelijk de kromming van lichtstralen door het gravitatieveld van de zon, en de baan van Mercurius.
...
[en dan gaat het boek verder over kosmologische consequenties. Maar verdere uitwerking van de theorie komt niet meer aan bod.]
Hier laat Einstein je dus mee zitten. In zijn boekje.
Het duurde van 1905 tot 1915 tot hij met de algemene relativiteitstheorie kwam. Was de speciale met middelbare schoolwiskunde nog goed te volgen, voor de algemene had hij flink bijgestudeerd.
Spoilertje: "hoe doe je dat" gaat met tensorcalculatie.
A 'gentle way' om ertoe te komen heb ik nog niet gevonden. Maar hee! ik ben nog niet eens begonnen.
