1 kinematica
1.1 plaatsbepaling
Teken een assenkruis: een horizontale lijn en een verticale lijn daardoorheen. Het kruispunt noemen we de oorsprong of (0,0).
De ene lijn (horizontaal) noemen we de tijdas: t.
De andere noemen we de verplaatsing: x.
We beginnen in het punt t=0 s en x=80 m. Teken dat in het assenkruis.
Dan het punt t=1 s, x=75 m ofwel (1, 75).
Vervolgens t=2 s, x=60 m (2, 60) en (3, 35)
en tenslotte (4, 0).
Toen Galileo Galilei zijn beroemde experiment op de toren van Pisa deed hadden dit zijn metingen kunnen zijn.
Op tijdstip 0 s (seconden) liet hij een kanonskogel los op 80 m (meter) hoog.
Na 1 s had die zich naar 75 m hoogte verplaatst, na 2 s naar 60 m, na 3 s naar 35 m en na 4 s plofte die in het zand, 0 m hoog.
Bij elk tijdstip t hoort een verplaatsing x. Dat schrijft men kort op als x(t). In ons geval:
x(0 s) = 80 m
x(1 s) = 75 m
x(2 s) = 60 m
x(3 s) = 35 m
x(4 s) = 0 m.
Trek nu lijnen tussen de opeenvolgende punten.
De gemiddelde snelheid tussen die punten wordt weergegeven door de steilheid van de lijn daar.
De steilheid kun je berekenen door de afgelegde afstand -vertikaal- te delen door de -horizontale- tijdsduur. Bv in de eerste seconde is die stijlheid = (75 - 80) m / (1-0) s = -5 m/s.
De gemiddelde snelheid van die kogel was dan dus 5 m/s; het minteken geeft aan dat de verplaatsing afnam, hij viel immers naar beneden.
Geef nu de gemiddelde snelheden in de 2e t&m laatste seconden en teken die in een nieuw assenstelsel waarvan we de verticale as de v-as noemen (v voor velocitas = snelheid).
In de eerste seconde komt dan een horizontale lijn ter hoogte van -5 m/s te staan. Maak het zelf af voor de volgende seconden.
Je hebt nu twee grafieken getekend van (rechte) lijntjes tussen (gemeten) punten: Voor elke seconde één. Zoals de steilheid van die lijntjes in de eerste grafiek de gemiddelde snelheid betekende, betekent de steilheid van de lijntjes in de tweede grafiek de versnelling. Dat geven we aan met de letter a - van acceleratio.
Bereken de versnellingen op dezelfde manier als je met de snelheid gedaan hebt.
1.2 afgeleiden
Met de grafiekjes die we nu hebben kun je de gemiddelde snelheid en de gemiddelde versnelling bepalen in een bepaalde seconde. Dat is wel een beperking.
Je zou soms graag de snelheid of versnelling op een willekeurig moment willen weten. En niet alleen van snelheid of versnelling maar in nog veel andere vergelijkbare gevallen. Zulke gevallen noemt men afgeleiden, of ook differentiaalquotienten.
Neem, om inzichtelijk te maken hoe daar mee om te gaan, het grafiekje van de verplaatsing er weer bij. Maar trek nu een vloeiende lijn door de gemeten punten, als betere benadering van de werkelijke verplaatsing van de vallende kogel in de loop van de tijd.
In elk van de punten op deze vloeiende lijn - ook wel kromme of curve genoemd - kun je een - rechte - raaklijn tekenen. En van zo'n raaklijn weet je nu hoe er de steilheid van te bepalen.
Die steilheid - of afgeleide, of differentiaal - wordt kort opgeschreven als
x(t+Δt)-x(t)
Δt
Oei! Wat is dat nu ineens allemaal? Wiskunde! Moeilijk! Nou, als wiskunde te moeilijk is zijn de stappen te groot. Dus moet ik de stappen wat kleiner maken?
Laten we eerst naar de teller kijken: x(t+Δt)-x(t).
Daarvan kennen we x(t) al - dat is een punt op de kromme, en wel het punt waarvan je de steilheid wil weten.
Maar x(t+Δt) dan?
Dat is ook een punt op de zelfde kromme, namelijk op tijdstip t+Δt.
Met Δt geven we een willekeurig korte tijdsspanne aan, maar net niet nul. Dus t+Δt is heel kort na t, zo kort dat de kromme nog niet de gelegenheid heeft gehad erg krom te worden, en dus nagenoeg recht is. En dan dus nagenoeg de raaklijn volgt. Waarvan we de steilheid wilden weten.
De teller is dan de afgelegde afstand x langs de verticale as gedurende Δt,
de noemer, Δt, is dan die tijdsspanne. Omdat Δt net niet nul is mogen we erdoor delen.
Teller gedeeld door noemer levert dan de steilheid van x(t) = de afgeleide x'(t) = de differentiaal van x(t) in het gewenste punt (t, x(t)).
De afgeleide van verplaatsing in de tijd is de snelheid, de afgeleide van de snelheid in de tijd is de versnelling.
De wiskundige ontdekking van afgeleiden dan wel differentialen is gedaan door Newton -die de notatie x'(t) gebruikte- en door zijn concurrent Leibnitz -die de notatie dx/dt gebruikte- en staat aan de basis van de natuurkunde.
૱
